Глава 7 неевклидова геометрия. решение

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизма. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией )

Однако исторически наибольшее внимание уделялось свойствам, которые отличают одну геометрию от других.

Помимо поведения линий относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы также имеем следующее:

• Ламберт четырехугольник является четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта острый, если геометрия гиперболическая, прямой угол, если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
• Саккрайте четырехугольник является четырехугольник с двух сторон равной длиной, и перпендикулярно к стороне называется база . Два других угла четырехугольника Саккери называются верхними углами, и они имеют одинаковую меру. Вершины четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
• Сумма углов любого треугольника меньше 180 °, если геометрия гиперболическая, равна 180 °, если геометрия евклидова, и больше 180 °, если геометрия эллиптическая. Дефект треугольника это числовое значение (180 ° — сумма мер углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положительный, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицателен.

Вымысел

Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .

• В 1895 году Герберт Уэллс опубликовал рассказ «Замечательная история глаз Дэвидсона» . Чтобы оценить эту историю, нужно знать, как идентифицируются противоположные точки на сфере в модели эллиптической плоскости. По сюжету посреди грозы Сидни Дэвидсон видит «Волны и удивительно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории в Техническом колледже Харлоу. В конце истории Дэвидсон оказывается свидетелем HMS Fulmar у острова Антиподы .
• Неевклидова геометрия иногда связана с влиянием писателя ужасов ХХ века Л. П. Лавкрафта . В его работах многие неестественные вещи следуют своим собственным уникальным законам геометрии: в « Мифах о Ктулху» Лавкрафта затонувший город Р’льех характеризуется неевклидовой геометрией. В значительной степени подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку ее явная врожденная неправильность, как говорят, способна свести с ума тех, кто смотрит на нее.
• Главный герой романа Роберта Пирсига « Дзен и искусство ухода за мотоциклами» неоднократно упоминал риманову геометрию.
• В «Братьях Карамазовых» Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана.
• Роман Кристофера Приста « Перевернутый мир» описывает борьбу жизни на планете с формой вращающейся псевдосферы .
• Роберт Хайнлайн в своей книге « Число зверя» использует неевклидову геометрию для объяснения мгновенного переноса в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• HyperRogue от Zeno Rogue — это игра в жанре roguelike, действие которой разворачивается на гиперболической плоскости , позволяя игроку испытать многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии.
• В Renegade Legion научной фантастики настройки для ФАЗА «s Wargame , ролевые игры-игры и вымысла, быстрее чем свет путешествия и связи возможно за счет использования Се Хо Polydimensional неевклидовой геометрии, опубликованной когда — то в середине 22 век.
• В Флаттерленде» Яна Стюарта главный герой Виктория Лайн посещает самые разные неевклидовы миры.

Геометрия Евклида

В самом узком смысле евклидова геометрия — это геометрия, которую Евклид представил в «Элементах» .

Геометрия (персонификация) учит в евклидовой геометрии. (Иллюстрация начала XIV века)

В соответствии с этой аксиоматической структурой более двух тысяч лет преподавалась геометрия. Фраза «more geometryo» (лат. «В манере (евклидовой) геометрии») до сих пор служит ссылкой на строго дедуктивную аргументацию.

Евклид делает это следующим образом:

Определения

Книга начинается с нескольких определений , например:

• Один момент — это то, что не имеет частей.
• Линия является длина без ширины.
• Прямая линия , которая всегда одинакова по отношению к точкам на ней.

Точно так же плоскости , углы и т. Д. Определяются.

В дополнение к этим более или менее четким определениям основных терминов, существуют также определения, которые следует понимать как введение слов в современном смысле , потому что они используются в сокращенной форме в следующем тексте, например, для параллелей : «Параллельные являются прямые линии, лежащие в одной плоскости и в одно и то же время, если они продолжаются до бесконечности с обеих сторон, они не пересекаются с обеих сторон ».

Элементы дают в общей сложности 35 определений.

Постулаты

После более описательных определений следуют еще пять определяющих постулатов . Здесь требуется

• что можно проложить маршрут из любой точки в любую точку,
• что ограниченная прямая линия может быть продолжена непрерывно,
• что вы можете нарисовать круг с любым центром и расстоянием ,
• что все прямые углы равны друг другу и
• что если бы прямая линия при пересечении с двумя прямыми имела эффект, заключающийся в том, что углы, созданные внутри на одной стороне, были бы меньше двух прямых, тогда две прямые линии встретились бы на той стороне, на которой лежат углы, когда они продолжены до бесконечности, которые вместе меньше двух правильных (короче: для прямой линии, проходящей через данную точку, которая будет лежать вне этой прямой, может существовать не более одной прямой, параллельной ей, см. постулат параллелей ).

Аксиомы евклида

• То, что одинаково, равно одно другому.
• Если подобное добавляется к подобному, то суммы одинаковы.
• Если подобное отделяется от подобного, то остается то же самое.
• Что можно сделать совпадающим друг с другом, равно друг другу.
• Целое больше, чем часть.

Проблемы и теоремы

Основываясь на этом, Евклид теперь решает проблемы …

Пример : «Постройте равносторонний треугольник над заданным маршрутом».

… и теоремы

Пример : «Если в треугольнике два угла равны, стороны, противоположные этим углам, также должны быть равны друг другу».

Для решения проблемы или доказательства теоремы в основном используются только определения, постулаты и аксиомы, а также ранее доказанные теоремы и конструкции из ранее решенных задач.

Геометрия и реальность в Евклиде

Как платоник Евклид был убежден, что сформулированные им постулаты и аксиомы отражают реальность. Согласно теории идей Платона , они принадлежат к онтологически более высокому уровню, чем нарисованные на песке фигуры, являющиеся их изображениями. Отношения между неидеально нарисованным кругом и идеальной идеей круга иллюстрируют разницу между чувственно воспринимаемым миром и умопостигаемым (только духовно воспринимаемым) миром, что проиллюстрировано платоновской аллегорией пещеры .

Отличия от чисто аксиоматической теории

С сегодняшней точки зрения, элементы не соответствуют требованиям аксиоматической теории :

• Цель определений (поскольку они касаются основных терминов) в случае Евклида — установить ссылку на знакомый геометрический мир опыта и мотивировать постулаты. О выразительности таких предложений судят по-разному. Строгие аксиомы считают их излишними.
• Пять постулатов наиболее точно представляют то, что сегодня считалось бы аксиомой . Однако они недостаточно полны и слишком неточны в качестве основы для выводов, сделанных на их основе. — Следует отметить, что по крайней мере первые три «постулата» постулируют возможность определенных построений (а не правильность определенных фактов). Поэтому аксиоматику Евклида можно также назвать конструктивной аксиоматикой.
• Утверждения, называемые аксиомами, относятся не столько к геометрии, сколько к логической основе. Однако с точки зрения логического обоснования они неполны.

Отсюда следует, что в умозаключениях неизбежно используются различные невысказанные предположения.

Аналитическая геометрия плоскости и пространства

→ Основная статья : Аналитическая геометрия

В системе координат , точка может быть представлена в виде пары (в плоской геометрии) , либо как триплет из действительных чисел . Тогда прямая линия или плоскость — это набор таких пар чисел (или троек), координаты которых удовлетворяют линейному уравнению . Аналитическая геометрия плоскости действительных чисел или построенного на ней пространства действительных чисел оказывается полностью эквивалентной той, которая определена аксиоматически.
Р.2{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Р.3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Можно рассматривать аналитическую геометрию как модель аксиоматической теории. Затем он обеспечивает доказательство непротиворечивости системы аксиом (которая, однако, является непротиворечивой основой действительных чисел, которую следует принимать как должное).

Но можно также рассматривать аналитический подход как независимую (и более удобную) основу геометрии; С этой точки зрения аксиоматический подход представляет только исторический интерес. Бурбаки, например (а также Жан Дьедонне) полностью отказывается от использования оригинальных геометрических терминов и считает, что рассмотрение топологических векторных пространств завершено .

История неевклидовых геометрий

В n- мерных геометрий и неевклидовы геометрия две отдельные ветви геометрии, которые могут быть объединены, но не обязательно. В популярной литературе возникла путаница в отношении этих двух геометрий. Поскольку евклидова геометрия была двухмерной или трехмерной, был сделан ошибочный вывод, что неевклидова геометрия обязательно должна иметь более высокие измерения.

древность

Предыстория неевклидовой геометрии — это длинная серия исследований и попыток прояснить пятый постулат Евклида (постулат параллелей). Этот постулат — в особенности потому, что он апеллирует к концепции бесконечности — всегда казался немного «обособленным» и неочевидным для математиков, которые стремились либо заменить его более простым и более прямым постулатом, либо продемонстрировать его, исходя из постулата Евклида. другие постулаты. Таким образом, арабские и персидские математики, включая Табита ибн Курру , Альхазена и особенно Омара Хайяма , изучали связь между постулатом параллелей и суммой углов четырехугольника и треугольника. Хайям и предложения от XI — го  века Альтернативы пятого постулата Евклида, и демонстрационная потуга этого постулата от противного .

XVII — го  века

В XVII — м  веке, Валлис и особенно Саккери были вдохновлены работой этих математиков и пытался доказать параллельный постулат. Саккери посвятил всю свою жизнь попыткам продемонстрировать постулат параллелей через абсурд, но безуспешно. Но, постулируя «гипотезу острого угла», которая постулирует, что сумма углов четырехугольника меньше четырех прямых углов , это не только не приводит к какому-либо вопиющему математическому противоречию, но и обнаруживает все. , связные и богатые теоремы. Он собирается открыть неевклидову геометрию (например, гиперболическую геометрию, в которой пространство может допускать бесконечное количество параллелей данной прямой и проходящих через точку вне этой линии), но он никогда не примет эти новые теоремы, которые он считает «отталкивающий».

Взявшись за работу Саккери в 1766 году, Иоганн Генрих Ламберт принимает гипотезу об остром угле, но не приходит к выводу о противоречии. Он осознает, по крайней мере в самые последние годы своей жизни, что должно быть возможно строить когерентные геометрии либо на основе гипотезы острого угла (гиперболическая геометрия), либо на основе гипотезы тупого угла (эллиптическая геометрия).

Ламберт, в частности, получает формулу , где C — константа, которая дает площадь Δ треугольника, три угла которого равны α , β и γ, в геометрии, основанной на остром угле (в настоящее время это называется гиперболической геометрией ).
π-(α+β+γ)знак равноПРОТИВΔ{\ Displaystyle \ пи — (\ альфа + \ бета + \ гамма) = С \, \ Дельта}

XIX — го  века

Гаусс еще в 1813 году сформулировал возможность существования других геометрий, отличных от геометрии Евклида. Однако он так и не решился опубликовать результаты своих размышлений в этом направлении, «опасаясь криков беотийцев», как писал сам.

Мы различаем геометрии с отрицательной кривизной, такие как геометрия Лобачевского (1829 г.) и Бойяи (1832 г.) (сумма углов треугольника меньше 180 °, бесконечное количество возможных параллелей прямой через точку, например, гиперболическая геометрия) , геометрии положительной кривизны, подобные геометрии Римана (1867) (сумма углов треугольника больше 180 °, параллельных полюсам, например эллиптическая геометрия).

Геометрия, обычно называемая «геометрией Римана», представляет собой трехмерное сферическое пространство, конечное пространство, но без ограничений, с регулярной положительной кривизной, альтернативу евклидовому постулату параллелей. Риман также разработал расширенную теорию неевклидовых n- мерных геометрий (конференция 1854 г.).

Идея «неевклидовой геометрии» обычно подразумевает идею искривленного пространства, но геометрия пространственной кривой является представлением геометрии неевклидовой, говорит Дункан Соммервиль  (in) в «Элементах неевклидовой геометрии» ( Лондон, 1914 г.). Есть трехмерные неевклидовы пространства.

Современная аксиоматическая теория

→ Основная статья : Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии

В другом смысле евклидова геометрия — это строго аксиоматическая теория , возникшая в конце XIX века . Вышеупомянутые проблемы стали очевидны, когда Бертран Рассел , Дэвид Гильберт и другие математики стали искать более строгие . Их решил Гильберт, опубликовавший результаты в своей работе « Основы геометрии» (1899 г.). Предшественниками были Герман Грассманн , Мориц Паш , Джузеппе Пеано и другие. Несколько других систем аксиом евклидовой геометрии были также установлены после Гильберта.

Подход Гильберта

Дэвид Гильберт использует «три разные системы вещей», а именно точки, линии и плоскости, о которых он говорит только: «Мы думаем (они) о нас». Об этих вещах следует «думать» в «трех основных отношениях» друг с другом, а именно «ложь», «между» и «конгруэнтность». Чтобы связать эти «вещи» и «отношения», он затем разбивает 21 аксиому на пять групп:

• Восемь аксиом связи ( заболеваемость )
• Четыре аксиомы расстановки ( порядок )
• Шесть аксиом конгруэнтности ( конгруэнтности )
• Аксиома параллелей ( аксиома параллелей )
• Две аксиомы непрерывности ( аксиома Архимеда и аксиома полноты)

Геометрия и реальность в Гильберте

Как представитель формализма , Гильберт заявляет, что не имеет значения, какое отношение эти точки, линии и плоскости имеют к реальности. Значение основных понятий определяется тем, что они соответствуют аксиомам. Таким образом , он начинает раздел аксиом связи с предложением: «Аксиома этой группы представляет между импортируемыми выше вещей: точками, линиями и плоскостями в ссылке здесь и заключается в следующем: …» Определение основных терминов , таким образом , имеют место неявно .

С другой стороны, Гильберт объясняет во введении к своей работе: «Настоящее исследование — это новая попытка создать полную и как можно более простую систему аксиом для геометрии …». С этой ссылкой на геометрию он дает понять, что его интересует не какой-либо произвольный формализм, а спецификация того, что Евклид имел в виду под «геометрией» и что мы все знаем как свойства окружающего нас пространства. Гильберту удалось уточнить это, и оно оказалось намного сложнее, чем предполагал Евклид.

Другие системы аксиом

Установленные позже системы аксиом в основном эквивалентны системе аксиом Гильберта. Они учитывают прогресс математики.

Возможная аксиоматизация дается аксиомами абсолютной геометрии вместе со следующей аксиомой, которая эквивалентна аксиоме параллелей в предположении других аксиом абсолютной геометрии:

У каждой прямой есть своя параллель. Если две прямые параллельны третьей, то они тоже параллельны друг другу.

Задача

Геометрия Лобачевского — это такая геометрия, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, аксиома параллельных. Вместо него принимается, что существует бесконечно много прямых, проходящих через не лежащую на прямой l точку и не пересекающих l. Геометрию Лобачевского можно реализовать на обычной евклидовой плоскости.

Примером служит модель Пуанкаре в круге. «Плоскостью» в этой модели называется внутренность обычного круга радиуса 1, а «прямыми» — дуги окружностей, перпендикулярных границе этого круга (окружности называются перпендикулярными, если перпендикулярны их касательные в точках пересечения). Граница круга называется абсолютом и считается не принадлежащей плоскости. Легко видеть, что через точку A, не лежащую на прямой l, действительно можно провести множество прямых, не пересекающих l. Все они находятся внутри угла, образованного прямыми a и b. Параллельными в смысле Лобачевского называются прямые, имеющие общую точку на абсолюте. Например, прямые l и a параллельны между собой. Прямые l и b тоже параллельны между собой (но при этом прямые a и b не параллельны).

Между точками плоскости Лобачевского можно вычислить расстояние. Если Q, R — точки на плоскости, а P, S — точки, в которых прямая, проходящая через Q и R, пересекает абсолют, то расстояние на плоскости Лобачевского между Q и R равно

где PR и т. д. — обычные расстояния между двумя точками.

Впрочем, эта страшная формула для решения задачи не понадобится

Однако важно представлять себе в общих чертах, как устроены расстояния в геометрии Лобачевского. Параллельные прямые, как хорошо видно на рисунке, бесконечно сближаются друг с другом с одного конца и бесконечно отдаляются с другого

Если же прямые не пересекаются и не параллельны, то точки, двигающиеся по этим прямым к абсолюту, всегда бесконечно отдаляются друг от друга. Вообще, при приближении к абсолюту точка бесконечно удаляется от центра круга.

Другая реализация геометрии Лобачевского возможна на специальной поверхности в трехмерном пространстве — псевдосфере. Псевдосфера — поверхность вращения кривой \( z = \ln \left( \text{tg}\,\frac t2 \right) + \cos t \), \( x = \sin t \) вокруг оси Oz (впрочем, эта формула тоже не понадобится, нужно лишь представлять, что псевдосфера похожа на граммофонную трубу). Прямыми Лобачевского на этой поверхности являются геодезические, то есть линии кратчайшей длины, соединяющие две точки. Геодезическую можно получить, натянув по поверхности нить. Большая часть геодезических на псевдосфере — это спирали, навивающиеся на граммофонную трубу. Но геодезическими также являются сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось вращения. Расстояния в этой модели — обычные евклидовы длины геодезических (поскольку псевдосфера вложена в обычное трехмерное пространство, то эти длины можно найти).

Псевдосфера, однако, не находится в однозначном соответствии со всей плоскостью Лобачевского в модели Пуанкаре. Во-первых, у псевдосферы есть граница, проходящая по плоскости z = 0. Во-вторых, у псевдосферы не такая топология, как у плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим замкнутую кривую, делающую один оборот по псевдосфере вокруг оси Oz. Ясно, что никакими деформациями эта кривая не может быть стянута в точку: что бы мы ни делали, кривая всегда будет делать один оборот вокруг Oz (то есть кривую можно как угодно двигать по псевдосфере, можно изгибать ее, но нельзя допускать разрывов). Однако в модели Пуанкаре любая замкнутая кривая может быть непрерывно деформирована в точку! Разгадка состоит в том, что геометрия на псевдосфере лишь локально реализует геометрию Лобачевского. Это значит, что если вырезать кусок псевдосферы, в котором не будет отверстий, то ему можно будет однозначно сопоставить кусок плоскости Лобачевского из модели Пуанкаре, причем расстояние Лобачевского между любыми точками будет сохраняться. (Между евклидовой плоскостью и плоскостью Лобачевского нельзя построить даже локального соответствия, сохраняющего расстояния.)

Важность

Перед тем была представлена Бельтрами, Клейном и Пуанкаром в модели неевклидовой плоскости, геометрия Евклида стояла неоспоримую как математическая модель в пространстве . Более того, поскольку суть предмета в синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за рамки математики и естественных наук. Отношение философа Иммануила Канта к человеческому знанию сыграло особую роль в геометрии. Это был его главный пример синтетического априорного знания; не выведенные из органов чувств и не выведенные с помощью логики — наши знания о космосе были истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция этой неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика соотносится с окружающим миром, что явилось результатом этой смены парадигмы.

Неевклидова геометрия является примером научной революции в истории науки , когда математики и ученые изменили свой взгляд на свои предметы. Некоторые геометры называли Лобачевского « Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ.

Существование неевклидовой геометрии во многом повлияло на интеллектуальную жизнь виклидской Англии и, в частности, было одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии, основанного на Элементах Евклида . В то время этот вопрос об учебной программе горячо обсуждался и даже стал предметом книги « Евклид и его современные соперники» , написанной Чарльзом Латвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл , автором « Алисы в стране чудес» .

Слайды и текст этой презентации

Работу выполнили ученики 7 «А» класса: Никитин Андрей , Шамоян Максим, Артем Федотов.

Неевклидова геометрия.

Мы выбрали эту тему так как она нас очень заинтересовала тем , что геометрия Лобачевского очень полезна в современном мире, и мы хотим немного рассказать вам о ней:Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую. Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально – ещё Ломоносов говорил: «Алхимия – мать химии: дочь не виновата, что её мать глуповата».Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект.

Введение

Иногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но это не совсем так. Есть только немного другое свойство параллельности: через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Это видно на рисунке 1. Причем параллельность сохраняется только в сторону уменьшения расстояния между прямыми. Этот, казалось бы, простой факт доказывается, что сумма углов треугольника равна 180о? Классическое доказательство приведено на рисунке 2. Используется свойство углов при накрест лежащих прямых, и выходит, что 1+2+3=180о. Но так как в геометрии Лобачевского параллельность сохраняется только в одном направлении, то для нахождения суммы углов треугольника*, то нужно провести две прямые, параллельные данной в разные стороны. Что получается, видно на рисунке 3. Понятно, что теперь сумма углов треугольника меньше 180о. Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника.Одними из важных объектов на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. Но чтобы описать эти пучки, сначала надо уяснить, что в плоскости Лобачевского есть три типа расположения прямых: прямые или параллельны, или пересекаются, или являются , меняет всю геометрию. Как, например, в геометрии Евклида .

Краткое описание геометрии Лобачевского.

Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает исчезающе малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

расходящимися.
* Здесь и далее подразумевается геометрия Лобачевского, если нет оговорки на геометрию Евклида.Так вот, первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка (рис. 4а). Пучок расходящихся прямых – это перпендикуляры к одной прямой – оси пучка (рис. 4б). Из этого определения выходит интересное и, казалось бы, абсурдное утверждение, что два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, и отличие от геометрии Евклида.И, наконец, пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении (рис. 4в).

Когда Евклид формулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. Когда Лобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его «воображаемая геометрия» на поверку окажется реальной.Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильна. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет – или это произойдет быстрее? Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте, и когда – нибудь и этот проект окажется макулатурой.Но думаю, что этого времени он успеет исполнить свое предназначение – рассказать и заинтересовать читателя настоящей геометрией нашего мира. Именно из-за популярного характера в нем нет ни строгих доказательств, ни полного описания неевклидовой геометрии. Но для поверхностного ознакомления с ней он вполне годен.

Заключение

Похожие записи:

Битва за москву: кратко о стратегической победе ссср и крахе операции «тайфун» в великой отечественной войне 29 идей, куда поехать на северном кавказе и что там посмотреть Всеединство в философии в. с. соловьева Мертвый сезон мистера лонсдейла. невероятная история конона молодого Откуда у людей появилось земледелие? Восемь любимых женщин султана в «великолепном веке»